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Hallar como cambia la distancia con el tiempo. Necesitamos hallar el tiempo en el cual la velocidad se duplica. Construir las ecuaciones diferenciales de las siguientes familias de curvas: a. Hallar las trayectorias ortogonales de las siguientes familias de curvas: a. Teorema 3.

Las condiciones 3. Asignando a las constantes c1 , c2 , Para hallar su integral general es necesario integrar n veces respecto a x. Sin perder generalidad, analicemos los casos anteriores en ecuaciones diferenciales de segundo orden. Recordando que de x, es decir dy dx 3. Problema: Hallar una curva para la cual, su radio de curvatura sea igual al cubo de la normal. Sustituyendo estas condiciones en 3. Para el caso general, tenemos las siguientes definiciones: Sean y1 x , y2 x , Por otro lado, si el determinante es diferente de cero, decimos que las funciones son linealmente independientes.

Al determinante 3. Sean y1 x y y2 x dos funciones continuas y diferenciables. El teorema queda demostrado. Del sistema 3. Entonces, de 3. Sustituyendo 3. Segundo caso. Luego, de 3. Sustituyendo estos valores en 3. Para esta existen tres casos de importancia: Primer caso. Poniendo el valor de los coeficientes en 3. Sustituyendo en 3. En realidad, siempre existe una fuerza de amortiguamiento.

Veamos como esto sucede. Entonces, para las oscilaciones libres de un circuito, figura 3. Esto significa que la resistencia en el circuito es dominante. Entonces, las soluciones son soluciones transitorias. Hallar la amplitud, el periodo y la frecuencia del movimiento. Datos: v0 , m. Para simplificar, suponga que la resistencia del aire se puede despreciar. GN Sustituyendo este valor en 3.

Mediante el uso de la transformada de Laplace, es posible convertir muchas funciones comunes, tales como las funciones senoidales, las funciones senoidales amortiguadas y las funciones exponenciales, en funciones algebraicas de una variable s que, en general, es compleja.

En las aplicaciones, las funciones discontinuas surgen de manera natural. La integral 4. En consecuencia, cuando la integral 4. Por consiguiente, la integral impropia 4. Observe que la transformada de Laplace 4. Las condiciones anteriores se resumen en el siguiente teorema. Teorema 4. Luego, la desigualdad 4. Calcular su transformada de Laplace. Ahora obtengamos la transformada de Laplace para funciones continuas por partes haciendo uso de la propiedad de linealidad.

La tabla 4. Esto es, f 0 t existe. Tenemos a. Figura 4. Este resultado es importante y lo formularemos como teorema: Teorema 4. Esto lo afirma el siguiente teorema. La receta para resolver este tipo de ecuaciones es la siguiente: Primer paso. Segundo paso. Tercer paso. Hacer uso de la transformada de Laplace para las derivadas y tomar en cuenta las condiciones iniciales. Haciendo uso de la tabla 4. Sustituyendo en 4. Cuando t 1 Figura 4.

Esto puede ser como el golpe de un bate a una pelota de beis-boll. Sustituyendo estos valores en 4. Entonces, sustituyendo estos valores en 4. A x0 se le conoce como el centro de la serie y x es una variable. Para la convergencia de la serie 5. Por consiguiente, la serie 5. Si existen valores de x para los cuales la serie 5. Si para cada x la serie 5. En tal caso, decimos que la serie 5. De las condiciones en 5.

Luego los valores encontrados de las derivadas se sustituyen en la serie de Taylor 5. Para cada valor de n obtenemos el valor de los coeficientes de la serie de potencias 5. Es claro que las ecuaciones diferenciales 5. En las siguientes secciones analizaremos ecuaciones diferenciales con coeficientes variables, que es donde las series de potencias muestran su potencial. Podemos darle valores a m y obtener diferentes valores de am. Si n es un entero par, entonces el coeficiente de a0 en 5.

Si n es entero impar, entonces, el coeficiente a1 en 5. El siguiente teorema, que no demostraremos, da las condiciones suficientes para la existencia de soluciones en serie de potencias. Teorema 5. Dividiendo 5. Analicemos lo anterior en casos sencillos. Por lo tanto, si n es par, y1 x se reduce a un polinomio de grado n. Si n es impar, y2 x se reduce a un polinomio de grado n. A estos polinomios multiplicados por unas constantes, se les conoce como polinomios de Legendre.

Resolviendo para as de 5. El coeficiente an en un principio sigue siendo arbitrario. Entonces de 5. De esta manera obtenemos un sistema de ecuaciones que incluyen los coeficientes desconocidos am. Entonces, se tienen los siguientes tres casos posibles. W Bessel analizaba el movimiento planetario.

La serie 5. Entonces, tenemos Teorema 5. En este caso las dos soluciones de 5. Usando 5. Por consecuencia r 2 sen x. Si la parte derecha del sistema normal de ecuaciones diferenciales son funciones lineales respecto a la variable y1 , y2 , El sistema dado por 6.

La respuesta la da el siguiente teorema. Teorema 6. Sean las componentes aij y las fi del sistema 6. Esto se puede realizar diferenciando una de las ecuaciones del sistema y eliminando todas las otras desconocidas. De esta manera obtenemos las soluciones x t y y t del sistema de ecuaciones 6. El sistema de ecuaciones 6. Sustituyendo estos valores en el sistema 6. Escribamos el sistema 6. Las expresiones en 6. Sustituyendo estas condiciones en 6.

Estas funciones las podemos encontrar al sustituir 6. Sustituyendo 6. Sustituyendo en 6. Del sistema 6. Sustituyendo las condiciones iniciales en las soluciones 6. Poniendo estos valores en 6. El procedimiento para encontrar los valores propios y los vectores propios del sistema 6. Derivando las soluciones propuestas 6. Entonces, decimos que el conjunto es linealmente dependiente en el intervalo dado, si existen constantes c1 , c2 , Si el conjunto de vectores no es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente.

En las ecuaciones diferenciales ordinarias introducimos el Wronskiano para determinar la dependencia lineal de un conjunto de soluciones. El Wronskiano 6. Sean Y1 , Y2 , Entonces, diremos que Y1 , Y2 , El sistema 6. Como vimos anteriormente, el sistema 6.

Sin embargo, el sistema 6. Las combinaciones correspondientes de las funciones 6. Las constantes c1 y c2 son constates arbitrarias y se obtienen de las condiciones iniciales. Ejemplo 4: 6. Resolvemos el sistema 6. Poniendo los valores encontrados de a, b,.. Aplicaciones Ejemplo 1: 6. Sean m1 y m2 , las masas de los cuerpos, k1 y k2 las constantes de los resortes, figura 6.

Figura 6. Ejemplo 2: Sea el sistema de la figura Figura 6. Filipov, Problemario de Ecuaciones Diferenciales. Nauka, Zill, Michael. Thompson and Learning, Report this Document. Flag for inappropriate content. Download now. Save Save Apuntes Ecuaciones Diferenciales. Related titles. Carousel Previous Carousel Next. P5 Formato de Evaluacion sep ene sep P9 Formato de Evaluacion sep ene sep Jump to Page.

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Ejemplo 1. Para esto, calculamos la derivada, en 2. La constante c puede tomar diferentes valores dependiendo de las condiciones iniciales del problema. Al integrar 2. Observe que las soluciones 2. El sistema de ecuaciones 2. Derivando 2. De tal forma que x y y, en 2. Sustituyendo en 2. Sustituyendo 2. Integrando ambas partes de 2. Sin embargo, para cierto tipo de ecuaciones no lineales existen sustituciones que las transforman en ecuaciones lineales. Se supone que las funciones P x y f x son funciones continuas de x.

Analizaremos otro tipo importante de ecuaciones diferenciales reducibles a lineales. Entonces, 2. Igualando las ecuaciones 2. Las ecuaciones 2. De las expresiones 2. Recomendamos al 2. Este ejercicio se deja al estudiante y desde luego se debe obtener el resultado 2. Entonces, para hallar un factor integrante podemos usar las expresiones 2. Escribiendo 2. Bajo estas 2. Los resultados son los esperados por lo tanto el problema queda resuelto.

Figura 2. Hallar la carga q en el condensador en un tiempo t. El producto RC que aparece en el exponente de las ecuaciones 2. De la figura 2. Esta fuerza el peso esta dirigida verticalmente hacia abajo. Si consideramos que no hay corrientes de aire, entonces estas tres fuerzas deben estar balanceadas. Poniendo este valor en 2. Resolviendo 2. No resuelta respecto a la derivada.

Primero, si 2. A este conjunto de direcciones se le conoce como campo de direcciones en el plano xOy. El problema anterior se resuelve introduciendo las isoclinas. Ejemplo 1: 2. Tales curvas se llaman trayectorias. Entonces, la primer integral en 2. Por lo anterior, antes de empezar con algunas de las aplicaciones, es necesario que recordemos algunas leyes. Problema 2: De una cierta altura h un cuerpo de masa m es arrojado verticalmente hacia abajo con una velocidad inicial v0.

Hagamos uso del factor integrante para resolverla. Datos: R, H, a. S1 dy1. S2 S2 2. Datos: V0 , V 1. Problema Supongamos que de la superficie de la Tierra lanzamos un cuerpo de masa m verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de v0.

Vamos a suponer que la resistencia del aire es proporcional al peso del cuerpo y al cuadrado de su velocidad. Datos: 2. Hallar: hmax y el tiempo t. Hallar el tiempo del movimiento de la bala por la tabla. Datos: h, v0 , v1. Hallar: El tiempo t necesario para atravesar la tabla. Datos: R, m, S y F. Suponga que la fuerza de rozamiento del 2. Eliminando la masa m de las ecuaciones 2. De esta manera, tenemos las condiciones iniciales. Sustituyendo estas condiciones en 2.

Para esto, veamos una cara del cilindro, representada en la figura 2. Datos: Una cuerda con los extremos fijos. Hallar: La velocidad al llegar a la superficie de la Tierra. Hallar: la ley de movimiento del punto material. Datos: R, v, r. El signo menos es debido a que con el aumento de la distancia r la velocidad del flujo decae.

Hallar como cambia la distancia con el tiempo. Necesitamos hallar el tiempo en el cual la velocidad se duplica. Construir las ecuaciones diferenciales de las siguientes familias de curvas: a. Hallar las trayectorias ortogonales de las siguientes familias de curvas: a. Teorema 3. Las condiciones 3. Asignando a las constantes c1 , c2 , Para hallar su integral general es necesario integrar n veces respecto a x. Sin perder generalidad, analicemos los casos anteriores en ecuaciones diferenciales de segundo orden.

Recordando que de x, es decir dy dx 3. Problema: Hallar una curva para la cual, su radio de curvatura sea igual al cubo de la normal. Sustituyendo estas condiciones en 3. Para el caso general, tenemos las siguientes definiciones: Sean y1 x , y2 x , Por otro lado, si el determinante es diferente de cero, decimos que las funciones son linealmente independientes.

Al determinante 3. Sean y1 x y y2 x dos funciones continuas y diferenciables. El teorema queda demostrado. Del sistema 3. Entonces, de 3. Sustituyendo 3. Segundo caso. Luego, de 3. Sustituyendo estos valores en 3. Para esta existen tres casos de importancia: Primer caso. Poniendo el valor de los coeficientes en 3. Sustituyendo en 3. En realidad, siempre existe una fuerza de amortiguamiento. Veamos como esto sucede. Entonces, para las oscilaciones libres de un circuito, figura 3.

Esto significa que la resistencia en el circuito es dominante. Entonces, las soluciones son soluciones transitorias. Hallar la amplitud, el periodo y la frecuencia del movimiento. Datos: v0 , m. Para simplificar, suponga que la resistencia del aire se puede despreciar. GN Sustituyendo este valor en 3. Mediante el uso de la transformada de Laplace, es posible convertir muchas funciones comunes, tales como las funciones senoidales, las funciones senoidales amortiguadas y las funciones exponenciales, en funciones algebraicas de una variable s que, en general, es compleja.

En las aplicaciones, las funciones discontinuas surgen de manera natural. La integral 4. En consecuencia, cuando la integral 4. Por consiguiente, la integral impropia 4. Observe que la transformada de Laplace 4. Las condiciones anteriores se resumen en el siguiente teorema. Teorema 4. Luego, la desigualdad 4. Calcular su transformada de Laplace. Ahora obtengamos la transformada de Laplace para funciones continuas por partes haciendo uso de la propiedad de linealidad.

La tabla 4. Esto es, f 0 t existe. Tenemos a. Figura 4. Este resultado es importante y lo formularemos como teorema: Teorema 4. Esto lo afirma el siguiente teorema. La receta para resolver este tipo de ecuaciones es la siguiente: Primer paso. Segundo paso. Tercer paso. Hacer uso de la transformada de Laplace para las derivadas y tomar en cuenta las condiciones iniciales. Haciendo uso de la tabla 4.

Sustituyendo en 4. Cuando t 1 Figura 4. Esto puede ser como el golpe de un bate a una pelota de beis-boll. Sustituyendo estos valores en 4. Entonces, sustituyendo estos valores en 4. A x0 se le conoce como el centro de la serie y x es una variable. Para la convergencia de la serie 5. Por consiguiente, la serie 5. Si existen valores de x para los cuales la serie 5. Si para cada x la serie 5. En tal caso, decimos que la serie 5. De las condiciones en 5.

Luego los valores encontrados de las derivadas se sustituyen en la serie de Taylor 5. Para cada valor de n obtenemos el valor de los coeficientes de la serie de potencias 5. Es claro que las ecuaciones diferenciales 5. Skip carousel. Carousel Previous. Carousel Next. What is Scribd? Apuntes Ecuaciones Diferenciales. Uploaded by Anali Anacoreta. Document Information click to expand document information Date uploaded Dec 06, Did you find this document useful? Is this content inappropriate? Report this Document.

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